Te explico mi solución con DP. Definamos a ~dp(i,inv)~ como la mínima cantidad de movimientos que necesitamos para que el prefijo hasta la posición ~i~ sea ~AAA..AA~, ~inv~ sólo va tomar dos valores ~0~ si estamos analizando la cadena original, y ~1~ si estamos analizando la cadena original invertida (o sea, todas las ~A~ se transforman en ~B~ y viceversa, por ejemplo, la cadena invertida de ~ABBA~ es ~BAAB~).

1. Podemos ver fácilmente que si no tenemos a ningún caracter en el prefijo entonces no es necesario hacer ningún movimiento por tanto: $$\displaystyle dp(0,0) = 0, dp(0,1) = 0$$
2. Si estamos evaluando la cadena original y el caracter que evaluamos es una ~A~ entonces no necesitamos hacer ningún movimiento extra, por lo que la cantidad de movimientos que tenemos que hacer para que el prefijo hasta ~i~ sea ~AAA..AA~ es la misma cantidad de movimientos para que el prefijo ~i-1~ sea ~AAA..A~, por lo que en este caso $$\displaystyle dp(i,0) = dp(i-1,0)$$
3. Si estamos evaluando la cadena invertida y el caracter en la posición ~i~ de la cadena original es ~A~ significa que estamos evaluando el caracter ~B~ en la cadena invertida, entonces hay dos movimientos posibles: ~(1)~ cambiar un caracter, aquí la solución sería la misma cantidad de movimientos que teníamos para que el prefijo ~i-1~ sea ~AAA..A~ en la cadena invertida más el movimiento extra de cambiar la ~B~ por la ~A~; ~(2)~ invertir el prefijo donde la solución sería la misma cantidad de movimientos que teníamos en el prefijo ~i-1~ en la cadena original más el movimiento extra de invertir el prefijo ~i~, como queremos quedarnos con la mínima cantidad de movimientos nos quedaremos con el mínimo de estos dos casos: $$\displaystyle dp(i,1) = min(dp(i-1,0),dp(i-1,1))+1$$
4. Si estamos evaluando la cadena original y el caracter en la posición ~i~ es ~B~ hacemos un análisis similar al del caso ~3~ y nos queda que: $$\displaystyle dp(i,0) = min(dp(i-1,0),dp(i-1,1))+1$$
5. Si estamos evaluando la cadena invertida y el caracter en la posición ~i~ de la cadena original es ~B~ significa que en la cadena invertida estamos evaluando el caracter ~A~, realizando un análisis similar al del caso ~2~ nos queda que: $$\displaystyle dp(i,1) = dp(i-1,1)$$

La solución nos queda en ~dp(N,0)~. Esto tiene una complejidad ~O(N)~ en tiempo y memoria. Se pueden hacer optimizaciones en memoria para que quede ~O(1)~ pero no es necesario en este problema.